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Système de numération

Système de numération

  1. Objectifs

  2. Description

    • Les systèmes de numération sont des méthodes pour représenter les nombres à l’aide de symboles. Le système que nous utilisons quotidiennement (base 10) n’est qu’un parmi beaucoup d’autres.
    • Voici une explication complète des principaux systèmes de numération, en particulier ceux cruciaux en informatique.

  3. Le Système de Numération Positionnel

    1. Qu’est-ce qu’un système de numération positionnel ?
      • Un système de numération positionnel est un système dans lequel
        la valeur d’un chiffre dépend à la fois de sa valeur propre et de sa position dans le nombre.
      • Chaque position correspond à une puissance de la base.
    2. Exemple en Décimal (Base 10)
      • Le nombre 472 signifie :
      • 472 = (4 × 10²) + (7 × 10¹) + (2 × 10⁰)
      • Décomposition :

        • 4 est dans la position des centaines → 400
        • 7 est dans la position des dizaines → 70
        • 2 est dans la position des unités → 2
    3. Exemple en Binaire (Base 2)
      • Le nombre 1011₂ signifie :
      • 1011₂ = (1 × 2³) + (0 × 2²) + (1 × 2¹) + (1 × 2⁰)
      • Résultat : 8 + 0 + 2 + 1 = 11 (en décimal)
    4. Exemple en Hexadécimal (Base 16)
      • Le nombre 2F₁₆ signifie :
      • 2F₁₆ = (2 × 16¹) + (15 × 16⁰)
      • Résultat : 32 + 15 = 47 (en décimal)
    5. Résumé Visuel
      6. Base Nombre Décomposition Valeur Décimale
      10 (Décimal) 472 (4×10²) + (7×10¹) + (2×10⁰) 472
      2 (Binaire) 1011 (1×2³) + (0×2²) + (1×2¹) + (1×2⁰) 11
      16 (Hexa) 2F (2×16¹) + (15×16⁰) 47

  4. Le Système Décimal (Base 10)

    1. Qu’est-ce que le système décimal ?
      • Le système décimal (ou base 10) est le système de numération le plus utilisé dans la vie courante.
        Il repose sur 10 symboles pour représenter les nombres.
      • Symboles utilisés : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
      • Chaque position d’un chiffre correspond à une puissance de 10 (unités, dizaines, centaines, etc.).
    2. Pourquoi est-il important ?
      • Le système décimal est fondamental car il est utilisé dans :
      • La vie quotidienne :
        • Comptage des objets
        • Calculs financiers
        • Mesures et commerce
      • Les sciences et l’éducation :
        • Enseignement des mathématiques
        • Calculs scientifiques
      • En informatique :
        • Bien que l’ordinateur travaille en binaire, les résultats sont souvent convertis et affichés en base 10 pour l’utilisateur.
    3. Exemple de conversion
      • Le nombre 472 en base 10 signifie :
        • 4 × 10² + 7 × 10¹ + 2 × 10⁰
        • = 400 + 70 + 2
        • = 472
    4. Table de correspondance
    5. Décimal Binaire (sur 4 bits)
      0 0000
      1 0001
      2 0010
      3 0011
      4 0100
      5 0101
      6 0110
      7 0111
      8 1000
      9 1001

  5. Le Système Binaire (Base 2)

    1. Qu’est-ce que le système binaire ?
      • Le système binaire (ou base 2) est un système de numération positionnel qui utilise uniquement deux symboles : 0 et 1.
      • Chaque chiffre binaire est appelé un bit.
      • C’est le système de numération de base en informatique, car les ordinateurs fonctionnent avec des circuits électroniques ayant deux états : allumé (1) et éteint (0).
    2. Pourquoi est-il si important en informatique ?
      • Le binaire est la base de tout le traitement informatique :
      • Représentation des données :

        • Toutes les informations (texte, images, sons, vidéos) sont finalement représentées en 0 et 1.
      • Opérations logiques et arithmétiques :

        • Les processeurs exécutent des calculs logiques et arithmétiques directement en binaire.
      • Stockage et mémoire :

        • Chaque cellule mémoire d’un ordinateur stocke des données sous forme de bits.
    3. Utilisations courantes
      • Représentation interne des nombres et des caractères.
      • Écriture des instructions machines (code machine).
      • Transmission des données numériques.
    4. Table de conversion rapide (0 à 15)
    5. Décimal Binaire
      0 0000
      1 0001
      2 0010
      3 0011
      4 0100
      5 0101
      6 0110
      7 0111
      8 1000
      9 1001
      10 1010
      11 1011
      12 1100
      13 1101
      14 1110
      15 1111

  6. Le Système Hexadécimal (Base 16)

    1. Qu’est-ce que le système hexadécimal ?
      • Le système hexadécimal (ou base 16) est un système de numération positionnel qui utilise seize symboles pour représenter les valeurs, contrairement au système décimal (base 10) qui en utilise dix.
      • Symboles utilisés : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
      • Les lettres A à F représentent les valeurs décimales 10 à 15.
    2. Pourquoi est-il si important en informatique ?
      • L’hexadécimal est extrêmement utile en informatique pour plusieurs raisons :
      • Représentation compacte des données binaires :
        • Un octet (8 bits) peut être représenté par seulement deux chiffres hexadécimaux (de 00 à FF). C’est beaucoup plus lisible et concis que d’écrire une longue suite de 1 et de 0 (ex: 10101101 devient AD).
      • Alignement parfait avec les octets :
        • Comme 16 est une puissance de 2 (2⁴ = 16), la conversion entre binaire et hexadécimal est simple et directe, sans calculs compliqués.
      • Utilisations courantes :
        • Adresses mémoire (ex: 0x7ffd42a89a60)
        • Couleurs en web (ex: #FF5733 pour un orange)
        • Débogage et reverse engineering (affichage de la mémoire RAM)
        • Représentation de données brutes (contenu de fichiers, paquets réseau)
    3. Table de conversion rapide
    4. Décimal Binaire (sur 4 bits) Hexadécimal
      0 0000 0
      1 0001 1
      2 0010 2
      3 0011 3
      4 0100 4
      5 0101 5
      6 0110 6
      7 0111 7
      8 1000 8
      9 1001 9
      10 1010 A
      11 1011 B
      12 1100 C
      13 1101 D
      14 1110 E
      15 1111 F

  7. Le Système Octal (Base 8)

  8. Conversion des nombres

    1. Définition
      • La conversion d’un nombre N d’une base source vers une autre base cible est possible en
        appliquant la règle de conversion spécifique à chaque type.
      • Système décimal ↔ Système non décimal B1, B2
    2. Codage

      1. Définition

        • Le codage est la conversion d’un nombre décimal en un nombre de base non décimale.
        • Coder un nombre décimal dans une base cible grâce :
          • à la division successive
          • à l’addition successive

      2. Codage Décimal Binaire

        • Division successive
          • Exemple de conversion de (43)10 en binaire par division successive :
            • 43 ÷ 2 = 21 reste 1
            21 ÷ 2 = 10 reste 1
            10 ÷ 2 = 5 reste 0
            5 ÷ 2 = 2 reste 1
            2 ÷ 2 = 1 reste 0
            1 ÷ 2 = 0 reste 1

            Donc : (43)10 = (101011)2
        • Addition successive
          • On prend en compte les poids binaires 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ….
            Exemple : (43)10 = (101011)2

      3. Codage Décimal / BCD (Binary Coded Decimal)

        • Le codage BCD consiste à convertir chaque chiffre décimal en binaire (4 bits).
          Exemple : (7539)10 = (0111 0101 0011 1001)BCD

      4. Codage Décimal Hexadécimal

        • Exemple : (200)10 = (C8)16
    3. Décodage
      • Le décodage est le processus de conversion d’un nombre d’une base non-décimale (binaire, hexadécimale, BCD, etc.) vers son équivalent en base décimale, que nous comprenons naturellement.
      • Le décodage est la conversion d’un nombre de base non-décimale vers un nombre décimal.Cela se fait par l’addition des pondérations :
        • décodage binaire → décimal
        • décodage hexadécimal → décimal
        • décodage BCD → décimal
    4. Transcodage
      • Le transcodage est la conversion d’un nombre entre deux bases non-décimales.

        1. Transcodage binaire ↔ hexadécimal

        2. Règle
          • On regroupe les bits par quartets (4 bits) et on convertit chaque quartet en hexadécimal.
        3. Exemple
          • (101101011111)2 = (135F)16

    5. Transcodage hexadécimal → binaire

      • Chaque symbole hexadécimal est converti en binaire sur 4 bits.
        Exemple : (3F)16 = (0011 1111)2
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Riadh HAJJI

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